Zenonin paradoksit

[Zenonin fragmentit, Zenonin paradoksit]

400-luvulla eKr eläneen elealaisen Zenonin perintö elää edelleen hänen nimissään kulkevissa paradokseissa. Kaksi ja puolituhatta vuotta hänen käytännön elämänkokemusta vastaan sotivat todistelunsa ovat kiusanneet ja mietityttäneet monia.

Moneutta vastaan

(a)

Jos oletamme, että viiva koostuu useista eri pisteistä, silloin voimme aina jakaa viivan osiin ja jokainen jako jättää meille viivan, joka voidaan jakaa uudelleen. Vaikka jatkaisimme tätä jakamista loputtomiin, emme koskaan saavuta pistettä, joten viiva ei voi koostua pisteistä.

(b)

Moneuden, viivan, täytyy olla sekä rajallinen että rajaton pisteiden määrässä. Sen täytyy olla rajallinen. Pisteiden määrän täytyy olla rajallinen koska viiva koostuu niin monesta pisteestä kuin siinä on, ei enemmästä, eikä vähemmästä. Siksi se on määrätty luku, ja määrätyn luvun täytyy olla äärellinen tai rajattu luku. Kuitenkin moneuden täytyy olla myös ääretön luku, koska se on rajattomasti jaettavissa. Siksi onkin ristiriitaista olettaa, että viiva koostuisi lukuisasta määrästä pisteitä.

Liikettä vastaan

(1) Dikotomia

Et voi ylittää kilparataa. Et voi kulkea rajatussa ajassa läpi ääretöntä määrää pisteitä. Sinun on ensin kuljettava puolet mistä tahansa annetusta matkasta ennen kuin olet kulkenut koko matkan, ja jälleen puolet jäljellä olevasta matkasta. Tätä jatkuu loputtomiin, koska missä tahansa annetussa välimatkassa on ääretön määrä pisteitä, ja et voi kulkea läpi äärettömän määrän pisteitä rajallisessa ajassa.

(2) Akilles ja kilpikonna

Akilles ei saa koskaan kilpikonnaa kiinni. Akilleen on ensin tultava paikkaan, josta kilpikonna aloitti. Tässä ajassa kilpikonna on kulkenut jonkin matkan eteenpäin. Akilleen on sitten kuljettava tämä matka, ja kilpikonna on kulkenut tässä ajassa edelleen eteenpäin. Akilles tulee koko ajan lähemmäs kilpikonnaa, muttei koskaan saavuta sitä.

(3) Lentävä nuoli

Lentävä nuoli on levossa. Koska kaikki on levossa ollessaan jossakin itsensä kokoisessa tilassa, niin ’mikä on lennossa’ on minä tahansa annettuna hetkenä itsensä kokoisessa tilassa, joten se ei voi liikkua.

(4) Stadion

Puolet ajasta on sama kuin kaksinkertainen aika. Kolme kilpahevosvaljakkoa on stadionilla. Ne aloittavat lähdöstä. Valjakko A pysyy paikallaan kun valjakot B ja C lähtevät yhtä suurella nopeudella vastakkaisiin suuntiin.

AAAA
.....BBBB ->
<- CCCC....

Kun valjakot tulevat seuraavaan pisteeseen, jokainen B on ohittanut kaksi kertaa niin monta valjakon A hevosta kuin valjakon C hevosta.

AAAA
................BBBB ->
<- CCCC............

Valjakolta B menee valjakon A ohittamiseen kaksinkertainen aika verrattuna siihen mikä menee valjakon C ohittamiseen. Kuitenkin valjakoilta B ja C menee sama aika valjakon A ohittamiseen. Niinpä puolet ajasta on sama kuin kaksinkertainen aika.

Paikkaa vastaan

Paikkaa ei ole olemassa. Jos oletamme, että kaikki mikä on olemassa sijaitsee jossakin paikassa (tai täyttää jonkin tilan), niin paikkakin sijaitsee jossakin paikassa, ja tämäkin paikka on jossakin paikassa ja niin edelleen loputtomiin. Tämähän on absurdia, joten sellaista kuin ‘paikka’ ei ole olemassa.

Ääntä vastaan: Hirssin siemen

Kuuluuko yhden hirssin siemenen putoamisesta ääni? Jaetaan siemen puoliksi, ja saadut puolikkaat edelleen kahteen osaan ja niin edelleen kunnes ei ole enää mitään puolitettavaa. Kun nämä olemattomat osaset liitetään yhteen ei saada mitään, koska olemattomuudesta ei saada mitään vaikka sitä liitettäisi yhteen vaikka kuinka paljon. Hirssin siemenen putoamisesta ei siis kuulu ääntä.


(Julkaistu aikaisemmin Zenon: Fragmentit ja paradoksit teoksessa (Jyväs-Ainola 2001). Kirja on jälleen saatavilla)

[Zenonin fragmentit, Zenonin paradoksit]